Алгебра октав — страница 11

удвоением множества кватернионов - множество октав, причем операции сложения и умножения в построенных моделях определялись совершенно одинаково. Такими же свойствами обладает и множество комплексных чисел, однако, в силу того, что их. свойства хорошо изучены на младших курсах, здесь ограничились лишь аксиоматическим построением этой числовой системы. Теорема Фробениуса, которую мы рассмотрели в , поле комплексных чисел и

тело кватернионов анализирует с общей точки зрения, как частные случаи ассоциативной линейной алгебры с делением и содержащей единицу. В дальнейшим мы попытаемся установить общий подход к таким числовым системам, как поле комплексных чисел, тело кватернионов и алгебра октав. 4.2 Алгебраическое сопряжение Определение. Алгебраическим сопряжением называется сопряжение, которое в сочетании с операцией умножения позволяет в

любой алгебре получать действительное число. Как видим, различий относительно сопряжения по мнимой единице два - во-первых, отсутствует требование использования операции сложения и во-вторых в сочетании с произведением требуется получение числа именно алгебры действительных чисел, а не одной из предшествующих удвоению. . Или, алгебраическое сопряжение используется для определения модуля числа алгебры. Для того, чтобы

получить действительное число в случае произвольной гиперкомплексной алгебры, следует придумать процедуру, с помощью которой можно отбросить все мнимые единицы. Наиболее простой операцией сопряжения, при этом похожей на определенное выше сопряжение, является операция смены знаков сразу у всех мнимых единиц числа, безотносительно способа их получения и их свойств: . Сменив знаки при всех мнимых единицах, получим: .

Естественно, что столь вольное обращение с мнимыми единицами не может гарантировать, чтоявляется действительным числом. Но при этом отметим, что суммакак раз является действительным числом. Таким образом, нам нужно отображение, которое произведению в одной области сопоставляет сложение в другой и наоборот. Такой операцией является пара отображений - логарифмирование и потенцирование. Еще раз напомним их свойства: , , в случае,

если a и b коммутируют по умножению. Таким образом, для получения числа, алгебраически сопряженного заданному, нужно найти его логарифм, сменить знаки у всех мнимых единиц и потенцировать. Любое число любой гиперкомплексной алгебры естественным образом коммутирует как само с собой, так и с действительным числом, поэтому . Или, если , то. Среди свойств алгебраического сопряжения отметим весьма важные: - сопряженное произведения