Алгебра октав — страница 10

v1())e = (ū1(u1u-v1 ) + (ū1+ u)v1) + ((vu1+ v1ū)ū1 - v1(ū ū1 -v))e= (ū1u1u- ū1v1 + ū1v1+ uv1) + (vu1 ū1+ v1ūū1 - v1ūū1 - v1v)e =(|u1|2u + u|v1|2)+(v|u1|2 + |v1|2v)e = (|u1|2+ |v1|2)u + (|u1|2 + |v1|2)ve = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.. С другой стороны, (1w1)w = |w1|2w. Сравнивая правые части этих равенств, получаем: 1(w1w) = (1w1)w. Рассмотрим уравнение wх = w1, где w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K. - известные октавы, а х - неизвестная октава. Умножим слева это уравнение на, w ≠ 0. Тогда: (wх) =w1(w)х =w1|w|2 х =w1 х =w1 . В этом случае октава х

называется левой частной от деленияоктавы w1ww на октаву w. Аналогично, решением уравнения yw = w1 является yy y =w1, называемый правым частным от деления октавы w1ww на октаву w. Найдем квадратный корень из октавы ww w = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK. Значение квадратного корня из этой октавы будем искать как октаву θ= x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK , где x, y, z, t, X, Y, Z, TR, удовлетворяющий условию θ 2 = w. Следовательно, (x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK)( x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK) = a + bi + cj + dk

+ Ae + BI + CJ + DK x2 – y2 – z2 – t2 -X2 – Y2 – Z2 – T2+ 2xyi + 2xzj + 2xtk + 2xXe + 2 xYI +2xzj + 2xtk = = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK Если x ≠ 0, тo из первого уравнения системы следует, что 4х4 - 4ах2 – (b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) = 0 x2= (a±) =(a± |w|). Так как х2 ≥ 0, то х2 =(a± |w|), откуда x=±.Определив х, значения y, z, t, X, Y, Z, T находим из равенств y =, z =, t =, X =, Y =, Z =, T =. Из рассмотрения свойств кватернионов и октав можно заметить, что у этих числовых систем много общего. Алгебраические формы записи элементов

этих числовых систем представляют собой некоторые многочлены от действительного числа и мнимых единиц с действительными коэффициентами. Одинаковым образом вводится понятие элемента сопряженного данному элементу. Свойства сопряженных элементов одни и те же, в некоторых случаях лишь с поправкой на число мнимых единиц. Понятие модуля кватерниона и октавы вводится одинаковым образом и обладает одинаковыми свойствами. То, что

квадрат чисто мнимого кватерниона или октавы есть неположительное действительное число, дает для них возможность записи в виде а + t, где а R и t2 ≤ 0. Формула извлечения корня квадратного как из кватерниона, так и из октавы одна и та же, опять-таки с учетом количества мнимых единиц. При внимательном подходе к аксиоматическому определлллению этих числовых систем так же можно заметить общий подход к построению моделей этих числовых

систем. Это так называемый метод удвоения, который заключается в том, что при введении нового числового множества мы строим декартов квадрат предыдущего чисссслового множества и новые числа рассматриваем как упорядоченные пары из чисел предыдущего числового множества. Так, удвоением множества действительных чисел получили множество комплексных чисел, удвоением множества комплексных-чисел - множество кватернионов,