Алгебра логики — страница 2

  • Просмотров 10769
  • Скачиваний 886
  • Размер файла 13
    Кб

формулировок, которые невозможно разделить на истинные и ложные, но, тем не менее, выглядят осмысленным образом. Это приводило к возникновению парадоксов, в том числе в одной из фундаментальных наук математики. Тогда было решено создать искусственные формальные языки, лишённого «вольностей» языка естественного. Булевы функции. Пусть имеется некоторый набор высказываний, о которых можно говорить определённо, что они истинные

или ложные. Обозначим их латинскими буквами A, B, C, D … . Если у нас есть два простых предложения, то из них образовать новое, сложносочинённое предложение с помощью союзов «или» либо «и». В математической логике для этой цели используются специальные символы: - знак дизъюнкции v - знак конъюнкции & (иногда используется ^) Таким образом, из утверждений A, B с помощью знаков дизъюнкции и конъюнкции получим новые утверждения: - A v B («A

или B») - A & B («A и B») Утверждение A v B считается истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных утверждений; утверждение A & B - когда истинны оба утверждения. Дизъюнкцию и конъюнкцию можно рассматривать как особые операции, определённые не на числах, а на логических значениях ИСТИНА и ЛОЖЬ. Для этих операций существуют таблицы, подобные таблице умножения. A B A v B ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА

ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ A B A & B ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ Логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ называют также булевыми значениями - в честь английского математика Джорджа Буля, который в XIX в. заложил основы современной математической логики. Функции с булевыми аргументами называют булевыми функциями. Всего булевых функций от 2 переменных - 16. Для всех булевых функций от двух

переменных имеются соответствующие конструкции на русском языке. В информатике в основном используются следующие булевы функции: - логическое ИЛИ (дизъюнкция) - логическое И (конъюнкция) - логическое отрицание («НЕ», обозначается ~ и противоположно своему аргументу) - исключающее ИЛИ Из этих основных складываются комбинированные функции: ИЛИ-НЕ, И-НЕ. Именно они получили наибольшее распространение в логической электронике, в

компьютерах. Преобразование выражений, состоящих из булевых функций. В математической логике преобразование выше указанных выражений проводится для различных целей - от упрощения исходного до доказательства утверждений. В информатике же оно используется в основном для упрощения, ведь при производстве цифровой электроники, как и любого другого товара, требуются наименьшие затраты. Для упрощения булевых выражений