Алгебра и топология — страница 8

  • Просмотров 5966
  • Скачиваний 47
  • Размер файла 286
    Кб

величина обладает всеми свойствами меры (x, y). Действительно: 1) =0, если x-y=0, то есть x=y; 2) =; 3) учитывая, что y-x=-(x-y), находим . Следовательно, линейное нормированное пространство является метрическим пространством с метрикой (5.3). Все рассмотренные ранее метрические пространства дополненные свойствами аддитивности и однородности, превращаются в нормированные линейные пространства. Для этих пространств обычно используют

специальные обозначения. Пример 5.6. Пространство или с нормой при n=1 ; Пространство с нормой ; Пространство с нормой ; Пространство непрерывных функций f(t), определенных на промежутке [a,b], с нормой . 3. Дискретные пространства и пространства близости. Тривиальное замыкание, определенное ранее, удовлетворяет всем пяти условиям (см. §5.1, п. 2) и, следовательно, является топологией. Эта топология называется дискретной. Все подмножества

множества X будут в этой топологии и замкнутыми, и открытыми. Всякое множество может рассматриваться как дискретное топологическое пространство, причем в конечных множествах, где всякое подмножество является объединением конечного числа элементов, возможна лишь дискретная топология. Пример 5.7. 1. Если семейство U совпадает с множеством B(X) всех подмножеств X (см. §1.1, п.3), то имеет место дискретная топология. 2. Дискретная

топология индуцируется тривиальной метрикой (см. Пример 5.3): . В этом случае имеем дискретное топологическое пространство (X, ). Пример 5.8. 1. Если U ={,X} – крайний случай совокупности U, – то такое семейство определяет топологию на любом множестве X. Такая топология называется антидискретной. 2. Простым примером не дискретного топологического пространства служит прямая линия. Рассматривая ее как числовую прямую и определяя для

каждого подмножества A, замыкание как совокупность чисел, являющихся пределами сходящихся последовательностей чисел из A, – получаем топологию, называемую естественно топологией. Одной из полных систем окрестностей здесь служит система всех (открытых) интервалов. Пространство близости – множество X с бинарным отношением  на множестве всех его подмножеств, удовлетворяющее следующим аксиомам: AB равносильно BA

(симметричность); A(BC) равносильно AB или AC (аддитивность); AA равносильно A (рефлексивность). Отношение  определяет близостную структуру, или просто близость на X. При этом, если AB, то A и B называются близкими множествами, а если (означает отрицание ), – то далекими. Свойства близости пространства являются обобщением равномерных свойств метрического пространства аналогично тому, как в топологическом пространстве