Алгебра и алгебраические системы

Алгебра и алгебраические системы Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры. п.1. Бинарные и n-местные операции. Пусть - непустое множество, то есть . Определение. Бинарной операцией на множестве называется ото­бражение прямого произведения . Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов мно­жества

поставлен в соответствие единственный элемент из , то гово­рят, что задана бинарная операция на множестве . Пример. Пусть - произвольные высказывания : - бинарная операция на множестве высказываний. Пусть - произвольные множества : - бинарная операция на множестве множеств. Пусть : - бинарная операция на множестве действительных чисел. : - не является бинарной операцией на множестве , так как . Если - произвольная бинарная операция

на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо записи пишут , то есть имеем . Элемент называется компози­цией элементов . Определение. Пусть . Отображение назы­вается - местной операцией на множестве . Число - ранг опера­ции. Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число назы­вается рангом нульместной операции. Определение.

Одноместные операции называются унарными опера­циями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множе­ства ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная опе­рация – это отображение множества во множество . Унарную операцию называют оператором. Пример. Пусть - множество натуральных чисел - унарная операция - не является унарной операцией На множестве высказываний операция : - унарная опера­ция

На множестве подмножеств универсального множества операция до­полнения – унарная операция. Определение. Отображение из множества называется частич­ной - местной операцией на множестве , если область определе­ния отображения не совпадает с . Виды бинарных операций Пусть - бинарные операции на множестве . Операция - коммутативна на множестве . Операция - ассоциативна на множестве . Операция - дистрибутивна слева