Аксиоматика теории вероятностей — страница 8

вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn = n!, где n! =1*2*3… n. Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1. Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра

входит в изображение числа только один раз? Решение. Искомое число трехзначных чисел Р3 = 3! =1*2*3 = 6. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений: Amn = n (n-1) (n-2) … (n-m+1). Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Решение. Искомое число сигналов: А26 = 6*5 = 30.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний Cmn = n! / (m! (n-m)!). Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей? Решение, Искомое число способов: С210 = 10! / (2!*8!) = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / 1*2* 1*2*3*4*5*6*7*8 = 45. Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством Amn = Pm* Cmn. При решении задач

комбинаторики используют следующие правила: Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может

быть выбрана m*n способами. 3.2 Примеры вычисления вероятностей Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра. Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует

событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (А) =1/10. Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать