Аксиоматика теории вероятностей — страница 6

подмножеством (пространства Q), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Q, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Q. Само Q наступает при любом исходе испытания, поэтому Q – достоверное событие; пустое подмножество пространства Q – невозможное

событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания). Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент Q. Каждому элементарному исходу wi ставят в соответствие положительное число pi – вероятность этого исхода, причем сумма pi (по i) = 1. По определению, вероятность Р (А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда

легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного – нулю, произвольного – заключена между нулем и единицей. Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов,

благоприятствующих А: P (A)=1/n + 1/n + 1/n. Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем: Р(А) = m\n. Получено классическое определение вероятности. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на

ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей и, конечно, использованием аксиоматической вероятности. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать

элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением