Аксиоматика теории вероятностей — страница 5

исходом). Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А) = 5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы

хотели найти. Дадим теперь определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой: Р(А) = m\n, где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания. Здесь

предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n следовательно, Р(А) = m\n = n\n = 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р(А) = m\n = 0\n = 0. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m\n < 1,

следовательно, 0 < Р(А) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0 < или = Р(А) < или = 1. Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий. Замечание. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены

выше. Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий wi (i=1, 2,…, n). События wi – называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Q, а сами элементарные события – точками пространства Q. Событие А отождествляют с