Аксиоматика теории множеств — страница 7

происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)). X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.) А к с и о м а R. (Аксиома замещения.) x (Un (X) yu (u y v ( X & v X))). Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное

утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество. Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств. А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.) x (0 x & u (u x u {u} x)). Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 x, и если и x, то и {и} также принадлежит х. Для

такого множества х, очевидно, {0} x, {0, {0}} x, {0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, … Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех

подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7. Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x x) ,т. е. х (х Y х х). (Такой класс Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X) (X Y X X)). Допустим M(Y). Тогда Y Y Y Y, что, в

силу тавтологии (A A) A & & A, влечет Y Y Y Y. Отсюда по теореме дедукции получаем M(Y)(Y Y Y Y), а затем, в силу тавтологии (B (A & A)) B , получаем и М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и

Бурали-Форти). Определения X Irr Y означает y (y Y X) & Rel (X). (X есть иррефлексивное отношение на Y.) X Tr Y означает Rel (X) & uvw (uY & vY & wY & & X &X & X X). (X есть транзитивное отношение на Y.) X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y). (X частично упорядочивает Y.) X Con Y означает Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v X X). X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y). (X упорядочивает Y.) X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY & & Z ≠ 0 y (y Z & v (v Z & v ≠ y X & & X))). (X вполне