Аксиоматика теории множеств — страница 6

существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых

множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы. А к с и о м а U. (Аксиома объединения.) xyu (u y v (u v & v x)). Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов множества х является также множеством, т. е. x (M((х))). Множество и (х) обозначают также через и v. Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех

подмножеств данного множества. А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.) xyu (u y u x). Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, x (M(P (х))). Примеры. P (0) = {0}. P ({0}) = {0, {0}}. P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}. Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая аксиома выделения. А к с и о м а S. xY zu

(u z u x & u Y). Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y существует множество, состоящее из элементов, общих для х и Y. Следовательно, xY (M (x ∩ Y)), т. е. пересечение множества с классом есть множество. Предложение 5. xY (Y x M (Y)) (т. е. подкласс множества есть множество). Доказательство. x (Y x Y ∩ x = Y) и x (M (Y ∩ x)). Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для

любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество. Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений. Определения Un (X) означает xyz ( X & X y = z). (X однозначен.) Fnc (X) означает X V2 & Un (X). (X есть функция.) Y 1 X означает X ∩ (Y V). (Ограничение Х областью Y.) Un1 (X) означает Un (X) & Un (). (X взаимно

однозначен.) X‘Y Если существует единственное z такое, что X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае