Аксиоматика теории множеств — страница 5

W ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)). Применим сперва XZ x1 … xn ( Z y ( X)). при X = и получим класс Z1 такой, что x1 … xn ( Z1x ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)). Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно x ψ. Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула uv (X = & u Y1 & v Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)), а на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)). Поэтому

возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву : Определение. x (x Y1 Y2 uv (x = & u Y1 & v Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2). Определения. X2 обозначает X X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар). ………………………………………………………………………………………………… Xn обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок). Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение). 2. Пусть φ (X, Y)

обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Zx (x Z x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y. Определение. x (x P (Y) x Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.) 3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X v & v Y). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Zx (x Z v (x v & v Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами

которого являются все элементы элементов класса Y и только они. Определение. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y) 4. Пусть φ (X) есть u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x Z u (x = )). Определение. x (x I u (x = )). (Отношение тождества.) Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) 1W( W Vn & x1…xn ( W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Доказательство.

В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности. Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок , удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) x1…xn (u = & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В

частности, при n = 1 получим u (u φ (x, Y1, …, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}). Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда V2 & x1x2( Y Y). Назовем обратным отношением класса Y. 2. Пусть φ есть v ( Y). Обозначим через R(Y) выражение (v ( Y)). Тогда u (u R(Y) v ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, R(Y) = D(). Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о