Аксиоматика теории множеств — страница 4

В5. X Z u v ( Z u X). А к с и о м а В6. X Z u v w ( Z X). А к с и о м а В7. X Z u v w ( Z X). С помощью аксиом В2—В4 можно доказать X Y 1Z u (u Z u X & u Y), X 1Zu (u Z u x), X 1Zu (u Z v ( X)). Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D. Определения u (u X ∩ Y u X & u Y) (пересечение классов Х и Y). u (u u X) (дополнение к классу X). u (u D (X) v ( X)) (область определения класса X). (объединение классов Х и Y). V = (универсальный класс). X − Y = X ∩ Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) Zx1 …xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул φ,

которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая такая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою очередь эквивалентно формуле x (z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подформулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u (z (z u z X) & u X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (записанную с

ограниченными переменными для множеств). 1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что xixj (W1 xi xj). Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что xixj (W2 xj xi), и тогда, в силу XZ u v ( Z X), существует класс W3 такой, что xixj (W3 xj xi). Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Тогда, заменив в XZ v1…vkuw

( Z X) X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что x1… xi-1xixj (Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Далее, на основании XZ v1…vmx1…xn ( ZX) там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что x1 … xi xi+1 … xj ( Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Наконец, применяя XZ v1…vmx1…xn ( Z X) (1) там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что x1…xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и XZ x v1…vm ( Z x X). 2. Предположим, что теорема доказана для

любого k < s и что φ содержит s логических связок и кванторов. (a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что x1…xn ( W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Теперь остается положить Z = . (b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что x1…xn ( Z1 ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и x1…xn ( Z2 θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Искомым классом Z в этом случае будет класс . (c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что x1…xnx (