Аксиоматика теории множеств — страница 3

  • Просмотров 4575
  • Скачиваний 40
  • Размер файла 77
    Кб

Y, Z))). А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y (XZYZ). Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством. А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) xyzu (u z u = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являются единственными его элементами. А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) х y (у х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов. Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что

существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е. 1x y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию. Определение. y (y 0). Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить

пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что NBG 1Z((M(X)&M(Y)&u (u Z u = X u = Y)) (( M(X) M(Y))&Z=0)). Этим оправдано введение пары {X, Y}: Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и {X, Y} u = X u = Y)) (( M(X) M(Y)) & {X, Y} = 0). Можно доказать, что NBG x y u (u {х, у} u = x u = y) и NBG x y (M({х, у})). Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченной парой классов Х и Y. Никакого внутреннего

интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар. Предложение 3. NBG x y u v (). Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х

= и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и, следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v. Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной n-ки. Определение = Х, Так, например, и В дальнейшем индекс NBG в

записи NBG опускается. Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3: Аксиомы существования классов. Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими свойствами. А к с и о м а В1. X u v (X u v) (- отношение). А к с и о м а В2. X Y Z u (u Z u X & u Y) (пересечение). А к с и о м а В3. X Z u (u Z u X) (дополнение). А к с и о м а В4. X Z u (u Z v (X)) (область определения). А к с и о м а