Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах — страница 9

  • Просмотров 5714
  • Скачиваний 80
  • Размер файла 337
    Кб

формулой (24) при условии задаётся косая симметрия с действительной осью. В этом случае коэффициент сжатия равен , следовательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий соответственные точки. Косая симметрия – аффинное преобразование второго рода, так как его определитель отрицателен. Если а=0, получаем осевую симметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия – аффинное преобразование также

второго рода (). 2.3. Сдвиг Выясним, как перемещается по плоскости точка при сдвиге (рис.4). Рассмотрим равенство (22), возьмём модули обеих частей этого равенства (26) и посмотрим, чем является каждый модуль в (26). Рис. 4 - это расстояние от точки М(z) до её образа M’(z’) при аффинном преобразовании. - это модуль постоянного вектора, перпендикулярного направлению сдвига, а - это расстояние от М(z) до точки с координатой, сопряжённой z, равное

удвоенному расстоянию от точки M(z) до действительной оси Ох. Преобразуем правую часть (26): , (27) тогда из (22) и (27) следует, что при сдвиге каждая точка M(z) смещается параллельно его оси на расстояние , пропорциональное расстоянию от этой точки до действительной оси. Коэффициент пропорциональности этих расстояний называется коэффициентом сдвига. Найдём собственные числа преобразования сдвига из уравнения, составленного аналогично

тому, как составляли для сжатия: , откуда найдём . Значит, преобразование сдвига имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига. Определитель преобразования сдвига строго больше нуля, поэтому сдвиг – аффинное преобразование первого рода. §3. Эллиптический поворот Эллипс – это образ окружности при аффинном преобразовании. [1] Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси. Его задают

условия: (28) а обратное к нему аффинное преобразование g-1 имеет формулу: , где , откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид: (29) При ортогональном сжатии окружность перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен , тогда . и называются большой и малой осями эллипса при . Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим: , тогда . Преобразовав данное

равенство, получим: , откуда получаем уравнение эллипса . Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N1. Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол вокруг точки О: , где , , . Y P N1 N M K M1 C O D X Т Q Рис. 5 Пусть точки М и М1 – образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1 следующим образом: 1) (преобразование, обратное ортогональному сжатию); 2) (поворот вокруг точки О