Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах — страница 8

тогда получим равенство, которым задаётся преобразование подобия второго рода , где (19) §2. Преобразование родства 2.1. Понятие преобразования родства Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек. Его задаёт формула : , где , , (20) Осью этого преобразования является прямая , примем её за действительную ось Ох: [1]. Тогда очевидно, что с=0 и b=1-a. Поэтому преобразование (20) с действительной осью записывается

формулой: , где (21) Рис. 2 Выясним особенности этого преобразования. Перепишем его следующим образом (22) составим из этого выражения и сопряжённого к нему выражения пропорцию . Откуда , а это является условием того, что векторы с координатами и перпендикулярны. Так как а-1 – постоянные вектор, а z и z’ – координаты соответственных точек М и М’ при аффинном преобразовании (рис. 2), то все прямые, соединяющие точки М и М’ будут

параллельны между собой и параллельны некоторому вектору с координатой (а-1)i, называемому направлением аффинного преобразования, в данном случае – родства. Если (а-1) – чисто мнимое число (то есть , откуда ), то направление родства будет коллинеарно оси родства. В этом случае аффинное преобразование называется сдвигом вдоль прямой и условия, которые его задают, имеют вид , , (23) Если же направление аффинного преобразования не

совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой и его задают следующие условия: , , (24) 2.2. Сжатие и его частные виды Найдём собственные числа λ преобразования сжатия (24) из условия . Составим систему из этого условия и сопряжённого к нему выражения : . Чтобы найти собственные числа, нужно решить уравнение , откуда получим и . Примем без доказательства следующую теорему [1]: если λ – собственное действительное

число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования. Рис. 3 Очевидно, что прямые MM’ и NN’ (рис. 3) являются двойными прямыми и λ2– действительное число, то точка Р делит отрезок MM’ в отношении , то есть . Число =δ называется коэффициентом сжатия. Если а – действительное число, то направление сжатия

перпендикулярно его оси и сжатие называется прямым (ортогональным) сжатием. Рассмотрим частный случай сжатия – косую симметрию [1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу: (25) Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда , откуда , то есть а – чисто мнимое число. Таким образом,