Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах — страница 7

рассматриваемая система будет выглядеть следующим образом: (16) Преобразуем отдельно каждое равенство системы (16). А) Первое равенство системы после некоторых преобразований примет вид , откуда и выполнение этого условия является очевидным, следовательно, первое равенство системы (16) ничего существенного нам не давало. Б) Рассмотрим теперь второе равенство, преобразуем его правую часть , тогда полученное соотношение на

коэффициенты прямой (2): (17) является условием того, что прямая (3) - двойная прямая аффинного преобразования (2). Докажем, что если для коэффициентов прямой (3) p и q верно равенство (17), то она является двойной прямой аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c и определителем .Возьмём прямую . При аффинном преобразовании с коэффициентами a, b, c она перейдёт на прямую . Покажем, что будут выполняться равенства где k – коэффициент

пропорциональности. Найдём k из последнего равенства системы . Подставим вместо q его выражение через коэффициенты аффинного преобразования и коэффициент р, упростим выражение и получим . Очевидно, что при таком k верны и два первых уравнения системы, следовательно, прямая является двойной, что и требовалось доказать. Глава II. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах §1. Преобразование подобия

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки P и Q отображает в такие две точки P’ и Q’, что P’Q’=k·PQ, где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. [2] Введём в рассмотрение аффинное преобразование (2). Рассмотрим неколлинеарные точки M(z), P(p), Q(q) и их образы M’(z’), P’(p’), Q’(q’) при некотором аффинном преобразовании (2). Преобразование подобия

задаётся тремя парами точек MM’, PP’, QQ’ так, что треугольник M’P’Q’ подобен треугольнику MPQ. Существует два рода преобразований подобия. Подобие первого рода сохраняет ориентацию каждого отображаемого треугольника, а подобие второго рода отображает каждый треугольник в треугольник, противоположно ориентированный с ним. Рассмотрим теперь подобие каждого рода отдельно. Пусть MPQ и M’P’Q’ – одинаково ориентированные

подобные треугольники, тогда выполняются равенства , где . Рассмотрим равенство , откуда , тогда . Обозначим второе слагаемое как , получим равенство, задающее преобразование подобия первого рода: , где . (18) Рассмотрим теперь подобные и противоположно ориентированные треугольники MPQ и M’P’Q’. Для них верны равенства: , где . Рассмотрим равенство , преобразуем его к виду , тогда можем выразить z’: , обозначим второе слагаемое за ρ,