Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах — страница 5

совпадает с направлением вращения от к ; в противном случае пару векторов и назовём ориентированной отрицательно. Рис. 1 Выясним теперь, как определить ориентацию пары векторов и , заданных своими комплексными координатами p и q соответственно. Очевидно, что если угол между векторами положительно ориентирован, то его синус положителен, в противном случае – отрицателен. Используем формулу синуса угла между векторами, заданными

своими комплексными координатами: . Найдём синус угла между векторами (p) и (q): . Здесь числитель – чисто мнимое число, следовательно, знак синуса угла зависит от знака числа . Образом вектора (p) при аффинном преобразовании (2) будет вектор с комплексной координатой , вектор , являющийся образом вектора (q) при этом же аффинном преобразовании будет иметь комплексную координату . Найдём теперь синус угла между векторами и : . Упростив

правую часть равенства, получим: . Знак синуса угла между векторами и зависит от знаков выражений и так как второе из них присутствует в выражении , то именно от выражения зависит, будет ли знак синуса угла между векторами и отличаться от знак синуса угла между векторами и . То есть если значение выражения положительно, то ориентация пары векторов и будет совпадать с ориентацией пары векторов и . В противном случае при аффинном

преобразовании (2) ориентация пары векторов сменится на противоположную. Таким образом, аффинное преобразование (2) сохраняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель положителен. В этом случае преобразование (2) является аффинным преобразованием первого рода. Иначе, аффинное преобразование меняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его

определитель отрицателен. И в таком случае преобразование (2) является аффинным преобразованием второго рода. §7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований 7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований Найдём координаты неподвижных точек аффинного преобразования (2). Для неподвижных точек, то есть для точек, переходящих в себя при аффинном преобразовании, должно выполняться следующее условие: z’=z, то есть . (7)

Выразим отсюда z. Для этого решим следующую систему ( где ) (8) Получили координату точки, являющейся инвариантом аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c. Тогда для аффинного преобразования возможны три случая [1]: неподвижных точек не существует; неподвижная точка единственная; неподвижных точек бесконечно много. Рассмотрим каждый из этих случаев. 1. Неподвижных точек не существует тогда и только тогда, когда для