Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах — страница 2

  • Просмотров 5713
  • Скачиваний 80
  • Размер файла 337
    Кб

рассмотрена общая теория для всех аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах, а также такие частные виды аффинных преобразований, как подобие, родство, эллиптический поворот, параболический поворот. Первое из них имеет две разновидности – подобия первого и второго рода, и теория для него разработана Скопецом З.А. совместно с Понариным Я.П. Родство – аффинное преобразование, имеющее

прямую неподвижных точек, у которого есть частные виды, также рассмотренные в работе. Теория этого аффинного преобразования для комплексных чисел разработана Понариным Я.П. Эллиптический и параболический повороты – это эквиаффинные преобразования, являющиеся композицией других аффинных преобразований. Они также определены научным руководителем. Для каждого из четырёх рассмотренных аффинных преобразований и частных видов

некоторых из них получены координатные формулы в сопряжённых комплексных координатах, изучены их простейшие свойства. Глава I. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах §1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах 1.1. Определение аффинного преобразования Введём определение аффинного преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных

координатах. Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую. [1] 1.2. Формула аффинного преобразования Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью комплексных чисел. Но для этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение комплексной координаты z’ образа данной точки M(z) через координату z этой точки М. Известно, что аффинное

преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы: где (1) Так как хотим получить формулу аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах, то нужно получить выражение комплексной координаты z’=x’+iy’ точки M’(z’) через комплексную координату её образа z=x+iy точки M(z): в выражение z’ подставим вместо x’ и y’ их выражения из формул (1) : , раскрыв скобки и приведя

подобные слагаемые в правой части этого равенства, получим . Теперь произведём тождественное преобразование над коэффициентами при x и iy: Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее: . Введя обозначения , , и учитывая, что и , имеем выражение комплексной координаты z’ точки M’ через комплексную координату её образа z точки M: . Осталось найти определитель этого преобразования. После некоторых преобразований