Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах — страница 10

на угол ); 3) (ортогональное сжатие). Тогда , где . Найдём формулу преобразования f. Сначала найдём формулу преобразования : . 2. Найдём формулу для преобразования f: , откуда получаем - это формула эллиптического поворота. Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя , используя равенство , тогда получим, что . Следовательно, определитель преобразования не равен

нулю, и f является аффинным преобразованием, что и требовалось доказать. Так как определитель рассматриваемого аффинного преобразования положителен, то эллиптический поворот – это аффинное преобразование первого рода. Это преобразование имеет единственную неподвижную точку О, значит оно является центроаффинным. При этом преобразовании каждая точка М плоскости (М≠О) переходит в другую точку, которая принадлежит

соответствующему эллипсу. Этот эллипс при рассмотренном преобразовании переходит сам в себя. Преобразование с объявленными свойствами называется эллиптическим поворотом. Выясним, имеет ли эллиптический поворот инвариантные пучки параллельных прямых. Для этого найдём дискриминант характеристического уравнения этого преобразования. Комплексные координаты векторов при аффинном преобразовании (2) переходят в коллинеарные

им векторы по формуле , откуда получаем уравнение . Решая его, получим характеристическое уравнение . Найдём (), его значение равно , тогда характеристическое уравнение запишется в виде: . Его дискриминант отрицателен (так как ). Следовательно, f – аффинное преобразование с единственной неподвижной точкой О и не имеющее инвариантных пучков параллельных прямых, то есть эллиптический поворот – эквицентроаффинное преобразование.

Формулу (29) эллиптического поворота можно записать в виде системы условий: Эту формулу можно представить иначе: , то есть эллиптический поворот является композицией сжатия к действительной оси и подобия первого рода с центром в точке О. §4. Параболический поворот Покажем, что параболу можно перевести в себя при преобразовании её с помощью композиции сдвига и параллельного переноса, не параллельного оси сдвига. Пусть М –

произвольная точка параболы П с осью l (рис. 6), примем эту ось за действительную. Произведём сдвиг с этой же осью l: , где , . Этот сдвиг переведёт точку М в точку М1 и параболу П – в параболу П1. Параболы П и П1 равны с точностью до сдвига. П1 Рис. 6 Теперь произведём параллельный перенос параболы П1: (), где . Тем самым, парабола П1 перейдёт в параболу П, а точка М1 перейдёт в точку М’ параболы П. Таким образом получили, что парабола переходит в