Аффинные преобразования — страница 9

  • Просмотров 6313
  • Скачиваний 74
  • Размер файла 215
    Кб

Докажем, что для любой точки В плоскости можно построить вполне определенную и единственную соответственную точку В'. Проведем прямую АВ. Пусть X -точка ее пересечения с осью хх. Так как точка X сама себе соответствует (как лежащая на оси), то прямой АХ соответствует прямая А'X. Наконец, точка В' должна лежать на прямой А'Х и проектирующей прямой ВВ', параллельной А А'. Это позволяет построить искомую точку В'. Таким образом, данных

оказалось достаточно, и соответственная точка В' представляет единственное решение. Заметим, что перспективно-аффинное соответствие будет действительно реализовано, так как указанная конструкция не может привести к противоречию. Это легко проверить, сведя построение к аппарату параллельной проекции. В самом деле, если перегнем чертеж 3 по линии хх так, чтобы плоскости w и w' образовали двугранный угол, то все проектирующие

прямые (прямые, соединяющие соответственные точки, например ВВ') окажутся параллельными прямой АА' (в силу пропорциональности отрезков). Следовательно, построенное нами соответствие можно рассматривать как результат параллельной проекции. Примечание. Если бы на чертеже 3 мы отнесли точку В к плоскости w', обозначив ее через С', то построение соответственной точки привело бы нас к точке С, которая, как видно из чертежа 3, не всегда

совпадает с В'. Можно доказать, что необходимое и достаточное условие такого совпадения, т. е. независимости перспективно-аффинного соответствия от того, отнесена ли точка к той или другой плоскости, заключается в делении отрезка А А' пополам в точке пересечения его с осью хх. Следовательно, в этом случае соответствие является косой или прямой симметрией (относительно оси хх). 5. В дальнейшем исследовании перспективно-аффинного

соответствия мы будем опираться на установленные выше свойства: 1) коллинеарность и 2) равенство простых отношений троек соответственных точек. Заметим, что в перспективно-аффинных преобразованиях эти свойства выражают неизменность, или инвариантность, понятия прямой линии и понятия простого отношения трех точек прямой. Из этих свойств можно вывести целый ряд других «инвариантов» перспективно-аффинного преобразования,

которые, таким образом, уже не являются независимыми. Докажем прежде всего инвариантность параллелизма прямых. Предположим, что на плоскости w имеем две прямые а и b, которым на плоскости w' соответствуют прямые а' и b'. Предположим, что прямые а и b параллельны (а || b). Докажем, что а '|| b'. Применим доказательство «от противного». Предположим, что прямые а' и b' пересекаются, и обозначим точку пересечения буквой М' (черт. 4). Тогда в силу