Аффинные преобразования — страница 7

  • Просмотров 6310
  • Скачиваний 74
  • Размер файла 215
    Кб

задачу изучить свойства перспективно-аффинного соответствия плоскостей. Займемся, прежде всего, вопросом о двойных, или неподвижных, точках нашего соответствия, т. е. о таких точках, которые совпадают со своими соответственными точками. Так как каждая двойная точка должна принадлежать как одной, так и другой плоскости, то они должны лежать на линии пересечения хх плоскостей w и w'. С другой стороны, очевидно, что каждая точка

прямой хх есть двойная, так как она сама себе соответствует. Прямая называется осью соответствия. Согласно предыдущему ось соответствия может быть определена как геометрическое место двойных точек. Рассмотрим далее какую-нибудь прямую АВ на плоскости w (черт. 1). Параллельная проекция этой прямой на плоскость w' есть прямая А'В'. Причем обе прямые либо пересекаются на оси хх, либо обе параллельны оси. Таким образом, прямой линии на

одной плоскости соответствует прямая же линия на другой. Это свойство перспективно-аффинного соответствия называют коллинеарностью. В силу самого определения параллельной проекции фигуры как геометрического места проекций всех точек этой фигуры каждой точке, лежащей на прямой, всегда соответствует точка, лежащая на соответственной прямой. Поэтому взаимопринадлежность точки и прямой на одной плоскости влечет за собой

взаимопринадлежность соответственных элементов на второй. Следующее свойство перспективно-аффинного соответствия касается так называемого простого отношения трех точек прямой. Рассмотрим три точки А, В, С, лежащие на одной прямой (черт 1). Простое отношение точек А, В, С определяется формулой: геометрический преобразование аффинный соответствие В этой формуле точки А и В считаются основными (или базисными), а точка С- делящей.

Простое отношение (ABC) представляет собой отношение длин тех отрезков, которые делящая точка образует с основными. Если точка С лежит вне отрезка А В, то оба отрезка АС и ВС одинаково направлены, и поэтому в этом случае простое отношение (ABC) положительно. В случае, когда делящая точка С находится между А и В, простое отношение (ABC) отрицательно. На чертеже 1 видно, что точкам А,В, С плоскости w соответствуют точки А', В', С' плоскости w'.

Так как проектирующие прямые АА', ВВ', СС' параллельны, то будем иметь: или (ABC) = (А'В'С'). Мы приходим к выводу, что в перспективно-аффинном соответствии простое отношение трех точек прямой одной плоскости всегда равно простому отношению трех соответственных точек другой. 3. Прежде чем перейти к рассмотрению дальнейших свойств перспективно-аффинного соответствия, остановимся на вопросе о возможном расположении соответственных