Аффинные преобразования — страница 10

  • Просмотров 6312
  • Скачиваний 74
  • Размер файла 215
    Кб

взаимно однозначного соответствия плоскостей w и w' точке М' плоскости w' соответствует точка М на плоскости w. Точка М должна принадлежать как прямой а, так и прямой b. Следовательно, М есть точка пересечения прямых а и b. Таким образом, приходим к противоречию. Предположение, что прямые а' и b' пересекаются, невозможно. Поэтому а' || b'. Таким образом, параллелизм прямых есть инвариантное свойство перспективно-аффинного преобразования.

Далее рассмотрим отношение двух параллельных отрезков. Пусть на плоскости w имеем два отрезка АВ и СD (черт. 5) и пусть АВ || СD. Им соответствуют на плоскости w' два также параллельных отрезка: А'В' \\ С'D'. Соединим В с D и проведем через С прямую СF || DВ. На плоскости w' прямой СF будет соответствовать прямая С'F' \\D'В' (в силу инвариантности параллелизма) и, следовательно, точке F будет соответствовать точка F'. Зная, что простое отношение трех

точек инвариантно, можем написать: Таким образом, приходим к равенству: Последнее показывает, что отношение двух параллельных отрезков есть инвариант перспективно-аффинного соответствия. Если отрезки АВ и СD лежат на одной прямой (черт. 6), то их отношение также инвариантно в перспективно-аффинном соответствии. В самом деле, пусть РQ-произвольный отрезок, параллельный прямой АВ. Тогда имеем: 6. Переходим к рассмотрению площадей

соответственных фигур. Докажем следующую лемму: Расстояния двух соответственных точек (А, А') до оси соответствия (хх) находятся в постоянном отношении, не зависящем от выбора пары соответственных точек. Доказательство. Предположим, что точкам А и В соответствуют точки А' и В' (черт. 7). Опуская из этих точек перпендикуляры на ось хх, получим расстояния их до оси. Расстояния будем всегда рассматривать положительными независимо от

направления перпендикуляров. Можем написать: Но как видно из чертежа: Полученное равенство и доказывает формулированную выше лемму. Обозначим постоянное отношение расстояний соответственных точек через к. Докажем следующую теорему. Отношение площадей двух соответственных треугольников постоянно и равно к. Доказательство теоремы распадается на следующие случаи: 1.Треугольники имеют общую сторону на оси хх. Такие

треугольники представлены на чертеже 8. Отношение их площадей выразится следующим образом: 2. Треугольники имеют общую вершину на оси хх. Таковы два треугольника на чертеже 9. Соответственные стороны ВС и В'С' этих треугольников должны пересекаться на оси хх (в точке X). Рассматриваемый случай сводится к предыдущему. В самом деле, на основании предыдущего можно написать: Но Поэтому будем иметь: 3.Общий случай двух соответственных