Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 10-11 классах — страница 9

лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х — х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х;. Таким образом, ∆х=х-х0, откуда следует, что х=х0+∆х Говорят также, что Первоначальное значение аргумента х0 получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) – f(x0) = f(x0+∆х) – f(x0) Эта разность называется приращением функции

f в точке х0, соответствующим приращению ∆х, и обозначается символом ∆f (читается «дельта эф»), т. е. по определению ∆f = f(x0+∆х) – f(x0) откуда f(x) = f(x0+∆х) = f(x0) ∆f Обратите внимание: при фиксированном x0 приращение ∆f есть функция от ∆х. ∆f называют также приращением зависимой переменной и обозначают через ∆у для функции y = f(x). Пример: Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ∆V, допущенную при вычислении объема этого куба, если

погрешность при измерении длины ребра равна ∆х. По определению приращения х = a + ∆x, тогда Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл приращений ∆х и ∆f (приращение ∆f обозначают также ∆у) можно понять, рассмотрев рисунок 80. Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции l, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х0; y0) и (х; у), равен . Его удобно выразить через

приращения ∆х и ∆у. (Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx+b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.) С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0;t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата х(t), то Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0 + ∆t; t0]). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно х (t0) —

x(t0 + ∆x); длительность промежутка времени равна —∆t, и, следовательно, Аналогично выражение называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x0 и x0+∆х. Первообразная и интеграл Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна 0, т. е. u (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь (1) Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием

находим скорость: (2) Второе дифференцирование дает ускорение: т. е. ускорение постоянно. Более типично для механики иное положение: известно ускорение точки a(t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости u (t), а также найти координату s (t). Иными словами, по заданной производной u′(t), равной a (t), надо найти u (t), а затем по производной s′(t), равной u (t), найти s (t). Для решения таких задач служит операция