Абстрактная теория групп — страница 8

  • Просмотров 4682
  • Скачиваний 119
  • Размер файла 509
    Кб

положительное число входящее в H. Тогда nZH. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn  H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана. Отметим, что  Z / nZ . Замечание. В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,... Определение. Порядком

элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) . Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени - различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место

равенство . Следствие. Если G - группа простого порядка p, то - циклическая группа. В самом деле, пусть - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g ). Теорема о подгруппах конечной циклической группы. Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HG порядка m. Эта подгруппа

циклична. Доказательство. По предыдущей теореме GZ / nZ. Естественный гомоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HG и теми подгруппами KZ , которые содержат Ker = nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZnZ , то k - делитель n и (k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы. Верна и обратная теорема: если конечная группа G

порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа. Доказательство. Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые

свойства таких групп. Лемма. Если G обладает свойством (Z), то Любая подгруппа G нормальна. Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx. Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z). Доказательство леммы. 1. Пусть HG . Для любого подгруппа имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) то есть подгруппа H нормальна. 2. Пусть порядок x равен p, а порядок y