Абстрактная теория групп — страница 7

лекции . Теорема (свойства гомоморфизма) Пусть - гомоморфизм групп, и - подгруппы. Тогда: , . - подгруппа. -подгруппа, причем нормальная, если таковой была . Доказательство. и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: . Пусть p = (h) , q = (k) . Тогда и . По признаку подгруппы получаем 2. Пусть то есть элементы p = (h) , q = (k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и - любой элемент. и потому . Определение. Нормальная

подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается . Теорема. Гомоморфизм  инъективен тогда и только тогда, когда Доказательство. Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно. Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного

(сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): . Доказательство. Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм . Пусть . Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаковые образы при отображении : . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение  очевидно

сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме  инъективно. Пусть - любой элемент. Имеем : . Следовательно, . 10 Циклические группы. Пусть G произвольная группа и - любой ее элемент. Если некоторая подгруппа содержит g , то она содержит и все степени . С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G . Определение. Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G

с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической. Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g. Примеры Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1. Группа поворотов плоскости на углы кратные n является циклической с образующим элементом - поворотом на угол n. Здесь n = 1, 2,

... Теорема о структуре циклических групп. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ . Доказательство. Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение - сюръективно. По свойству степеней и потому  - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме . H = KerZ. Если H - тривиальная подгруппа, то . Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее