Абстрактная теория групп — страница 6

  • Просмотров 7542
  • Скачиваний 136
  • Размер файла 509
    Кб

подгруппе совпадают. Примеры. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой. В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут

подгруппы и . Если - любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH. Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе). Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных

классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть . Доказательство. Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда = = = . Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , всякий смежный

класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G. 9 Гомоморфизм. Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма. Определение. Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет

алгебраическую операцию, то есть : . Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения. Примеры. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом. Тривиальное отображение является гомоморфизмом. Если - любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом. Пусть - нормальная подгруппа.

Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом. Отображение , которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же