Абстрактная теория групп — страница 5

  • Просмотров 4690
  • Скачиваний 119
  • Размер файла 509
    Кб

(1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение  является изоморфизмом. Смежные классы; классы сопряженных элементов. Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G.

Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного . Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G

относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g. Пример. Пусть - группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть: , , . Правые

смежные классы: , , . Все эти классы состоят из 2 элементов. Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H: , , , . В то же время, , , . Теорема Лагранжа. Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G. Доказательство. По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает

теорема. Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы . Следствие. Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу. В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа - общий делитель порядков H и K то есть 1. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является

подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H. Определение. Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: . Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой