Абстрактная теория групп — страница 4

  • Просмотров 4639
  • Скачиваний 119
  • Размер файла 509
    Кб

противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng. 6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований. Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться. Пусть некоторая подгруппа. А) Для

каждого определим отображение (левый сдвиг на элемент h) формулой . Теорема 1 Множество L(H,G)= является группой преобразований множества G. Соответствие: является изоморфизмом групп H и L(H,G). Доказательство. Надо проверить, что отображение взаимно однозначно для всякого . Если , то по закону сокращения. Значит инъективно. Если любой элемент, то и так что к тому же и сюръективно. Обозначим через  операцию композиции в группе Sym(G)

взаимно однозначных отображений . Надо проверить, что и . Пусть любой элемент. Имеем: ; и значит, . Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше: . Следствие. Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и

рассмотреть левые сдвиги). Для случая конечных групп получается теорема Кэли: Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n. Для каждого определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой . Теорема B. . Множество является группой преобразований множества G. Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G). Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только,

что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а . С) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой . Теорема С. Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G). Множество является группой преобразований множества G. Отображение сюръективно и сохраняет операцию. Доказательство. Поскольку , отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого

типа. Имеем: и потому сохраняет операцию. Надо проверить, что и . Оба равенства проверяются без труда. Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2. Замечание об инъективности отображения . В общем случае отображение  не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или