Абстрактная теория групп — страница 3

  • Просмотров 7549
  • Скачиваний 136
  • Размер файла 509
    Кб

любых двух осей. 2.Группа диэдра и соответствующая пространственная группа изоморфны. Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4}

Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными. Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством

положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом. Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции. 5.Понятие подгруппы. Непустое подмножество называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что , и . Признак подгруппы.

Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда, когда . Доказательство. В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь - любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим . Примеры подгрупп. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой. - подгруппа четных подстановок. и т.д. Пусть G - любая группа и - любой фиксированный элемент.

Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g . Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то

централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G). Замечание об аддитивной форме записи группы. Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется