Абстрактная теория групп — страница 2

  • Просмотров 7546
  • Скачиваний 136
  • Размер файла 509
    Кб

однозначно. В самом деле, если - нейтральные элементы, то . Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: . Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент называется обратным для элемента , если . Отметим, что по определению . Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все

числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: . Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент также обратим и . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!). Определение (абстрактной) группы. Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется

группой, если Операция (*) ассоциативна на G. Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы). Каждый элемент из G обратим. Примеры групп. Любая группа преобразований. (Z, +), (R, +), (C, +). Матричные группы: - невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1. 3.Простейшие свойства групп. В любой группе выполняется закон сокращения: (левый закон

сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на и воспользуемся свойством ассоциативности: . Признак нейтрального элемента: Доказательство Применим к равенству закон сокращения. Признак обратного элемента: Доказательство: Применим закон сокращения к равенству . Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п.3. Существование обратной

операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что (левое частное элементов ) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству . Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного. 4.Изоморфизм групп. Определение. Отображение двух групп G и

K называется изоморфизмом , если 1.Отображение  взаимно однозначно. 2.Отображение  сохраняет операцию: . Поскольку отображение обратное к  также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными. Примеры. 1.Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно