Абстрактная теория групп

  • Просмотров 4508
  • Скачиваний 118
  • Размер файла 509
    Кб

Абстрактная теория групп I.Понятие абстрактной группы. 1.Понятие алгебраической операции. Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением. Примеры. Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией. Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве

всех подстановок степени n. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при . Однако на множествах , это будет алгебраическая операция. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве . Векторное

произведение будет алгебраической операцией на множестве . Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка. 2.Свойства алгебраических операций. Операция (*) называется ассоциативной, если . Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности

позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если , . В частности можно определить степени с натуральным показателем: . При этом имеют место обычные законы: , . 2. Операция (*) называется коммутативной, если В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции Элемент называется нейтральным для

алгебраической операции (*) на множестве X, если . В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен