Абелевы универсальные алгебры — страница 8

  • Просмотров 4210
  • Скачиваний 77
  • Размер файла 1410
    Кб

заданы конгруэнци и, удовлетворяющие определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: и только тогда, когда и Легко непосредственной проверкой убедиться, что – конгруэнция на алгебре. Осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть имеет место Тогда согласно введенному определению и откуда следует, что т.е. Пусть Это означает Но тогда и Следовательно, Пусть имеет место Это означает, что и

Значит, и, т.е.. Лемма, доказана. Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр. Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 7 Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией. Определение 3.3.-арная группа называется

нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом что и для любого. Так как конгруэнции на-арных группах попарно перестановочны (смотри, например, ), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп. Лемма 3.6. Пусть –-арная группа. и – нормальные подгруппы группы и. Тогда, где и конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе. Доказательство: Подгруппы и индуцируют

на группе конгруэнции и, определяемые следующим образом: –-арная операция. Определим на бинарное отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов и из и соответственно, что Покажем, что – подалгебра алгебры. Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать-арный оператор. Пусть Так как, то Так как, то Поэтому в силу того, что, Итак, – подалгебра алгебры. Пусть – нейтральная

последовательность группы, а, следовательно, и группы. Тогда из определения бинарного отношения следует, что Тем самым доказало, что – конгруэнция на. Тo, что удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана. Лемма 3.7. Пусть – нильпотентная-арная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1. Доказательство: Так как для любого, то индуцирует конгруэнцию на. Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет

являться центральным. Лемма доказана. В частности, для произвольной бинарной группы отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию. 4. Классы абелевых алгебр и их свойства Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра называется нильпотентной, если существует такой