Абелевы универсальные алгебры — страница 6

  • Просмотров 4209
  • Скачиваний 77
  • Размер файла 1410
    Кб

нетрудно показать, что – конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что Теорема доказана. Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах. 3. Формационные свойства нильпотентных алгебр Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и

определения из[1]. Напомним, что для и – конгруэнции на алгебре – говорят, что централизует (записывается:), если на существует такая конгруэнция, что: 1) из всегда следует 2) для любого элемента всегда выполняется 3) если, то Очевидно, что для любой конгруэнции на алгебре конгруэнция централизует. В этом случае. Заметим, что если и – конгруэнции на группе и, то для нормальных подгрупп и группы и любых элементов, имеют место следующие

соотношения: Тогда и в силу транзитивности из этих соотношений следует, что По определению 2.1 получаем, что Следующее определение центральности принадлежит Смиту . Определение 3.1., если существует такая, что для любого, Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1. означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что. Пусть и – конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для

любого элемента, Докажем обратное включение. Пусть. Так как, то из условия 2) следует, что В силу транзитивности имеем и, значит, в силу условия 3). Итак Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если, то Это означает. Для получаем, что откуда. Согласно работе Определение 3.2. Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнции называемый центральным, что Лемма 3.1. Любая подалгебра

нильпотентной алгебры нильпотентна. Доказательство: Пусть – подалгебра нильпотентной алгебры. Так как обладает центральным рядом то для любого на алгебре существует конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из всегда следует и 1) для любого элемента всегда выполняется 2) если и то Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что тогда и только тогда, когда Построим следующий ряд

конгруэнции на алгебре: где Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре для любого определим бинарное отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда Покажем, что – конгруэнция на алгебре. Пусть Тогда и для любой-арной операции имеем Следовательно, Итак, – подалгебра алгебры. Очевидно, что для любого элемента имеет место Таким образом, согласно лемме 2.3, – конгруэнция на алгебре. Пусть Тогда и так