Абелевы универсальные алгебры — страница 5

удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и, принадлежащих. Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре, изоморфная конгруэнции. Это и означает, что Лемма доказана. Определение 2.2. Если и – факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в. Напомним, что факторы и

назыавются перспективными, если либо либо Докажем основные свойства централизаторов конгруэнции. Теорема 6 Пусть,,, – конгруэнции на алгебре. Тогда: 1) если, то 2) если, то 3) если, и факторы, перспективны, то 4) если – конгруэнции на и, то где,. Доказательство. 1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и, то 2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что а в силу леммы 2.4 получаем, что Пусть – изоморфизм. Обозначим По лемме 2.5, а по

определению Следовательно, 3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство Покажем вналале, что Обозначим. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция, что выполняются следующие свойства: а) если, то б) для любого элемента, в) если то Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и Покажем, что – конгруэнция на.

Пусть для. Тогда и Так как – конгруэнция, то для любой-арной операции имеем Очевидно, что и Следовательно, Очевидно, что для любой пары Значит, Итак, по лемме 2.3, – конгруэнция на. Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует. Пусть Тогда Так как, и, то. Следовательно, удовлетворяет определению 2.1. Если, то значит, Пусть, наконец, имеет место (1) и Тогда Так как и, то, следовательно,. Из (2) следует, что, а по условию.

Значит, и поэтому Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует. Докажем обратное включение. Пусть Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и,. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что – конгруэнция на алгебре. Заметим, что из доказанного включения в одну сторону

следует, что. Покажем поэтому, что централизует. Так как то то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1. Если, то следовательно, Пусть имеет место (3) и. Так как то Из (4) следует, что, следовательно, то есть На основании леммы 2.2 заключаем, что Следовательно,. А так как, то, то есть 4) Обозначим. Пусть и удовлоетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда Аналогично, как и выше,