Абелевы универсальные алгебры — страница 4

выполняется 3) если то Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие. Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы. Лемма 2.1. Пусть. Тогда: 1) существует единственная конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1; 2); 3) если то Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для

произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая. Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается. В частности, если, то централизатор в будем обозначать. Лемма 2.2. Пусть, – конгруэнции на алгебре,,,. Тогда справедливы следующие утверждения: 1); 2), где; 3) если выполняется одно из следующих отношений: 4) из всегда следует Доказательство: 1) Очевидно, что – конгруэнция на,

удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и. 2) – конгруэнция на, удовлетворяющая определению 2.1. Значит 3) Пусть. Тогда Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что Тогда получим т.е. Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3). 4) Пусть Тогда справедливы следующие соотношения: Следовательно, где – мальцевский оператор. Тогда то есть. Так как то. Таким образом. Лемма

доказана. Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов. Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры, содержащая диагональ, является конгруэнцией на алгебре. Доказательство: Пусть Тогда из следует, что Аналогичным образом из получаем, что Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана. Доказательство следующего результата работы [1] содержит пробел, поэтому докажем его. Лемма 2.4. Пусть. Тогда для

любой конгруэнции на алгебре. Доказательство: Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда где Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что – конгруэнция на алгебре, причем Пусть то есть Тогда и, значит Пусть, наконец, имеет место Тогда справедливы следующие соотношения: применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем Из леммы 2.2 следует, что Так как то Значит,

Но, следовательно,. Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана. Лемма 2.5. Пусть, – конгруэнции на алгебре, и – изоморфизм, определенный на. Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру, при котором. В частности,. Доказательство. Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру, при котором конгруэнции, изоморфны соответственно конгруэнциям и. Так как то определена конгруэнция