Абелевы универсальные алгебры — страница 2

методы исследования работы [1] доказывается следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию. 1 Основные определения, обозначения и используемые результаты Приведем определения основных понятий, используемых в данной работе из источников [1] и[2]. Для введения понятия алгебы необходимо сначала определить-арные операции. Определение 1.1. Если –

непустое множество и, то-арной операцией на множестве назовем отображение прямого произведения в. Рассматриваются и-арные операции, которые по определению, отмечают некоторый элемент из. Определение 1.2. Пара, где – непустое множество, а (возможно, пустое) множество операций на, называется универсальной алгеброй или, короче, алгеброй. Совокупность операций (или опрерационных символов) будем называть сигнатурой. Часто, при

введении алгебры, указывают только множество и не указывают сигнатуру. Элемент алгебры отмечаемый-арной операцией. будем обозначать через. Определение 1.3. Подмножество называется подалгеброй, если для всякой-арной операции, а если и –-арная операция из, то Определение 1.4. Если, – алгебры сигнатуры, то прямое произведение становиться алгеброй той же сигнатуры, если для каждой-арной операции положить а для-арной операции, где, –

Возникающая таким образом алгебра называется прямым произведением алгебр. Приведем некоторые определения из Определение 1.5. Отображение из алгебры в алгебру называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой-арной операции () справедливо равенство Если же – нульарная операция, то полагаем Взаимнооднозначный гомоморфизм алгебры на называется изоморфизмом и обозначается. Гомоморфизм алгебры в себя называется

эндоморфизмом алгебры. Изоморфизм алгебры в себя называется ее автоморфизмом. Определение 1.6. Конгруэнцией на алгебре называется всякая подалгебра прямого квадрата, обладающая следующими свойствами: 1) (рефлексивность): для всех; 2) (симметричность): если, то; 3) (транзитивность): если и, то. Отметим, что условия 1) – 3) означают, что – эквивалентностъ на множестве. Определение 1.7. Пусть – гомоморфизм алгебры в. Ядром гомоморфизма

называется подмножество В работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах Теорема 1 Ядро гомоморфизма является конгруэнцией. Определение 1.8. Если – конгруэнция на алгебре и, то множество называется классом конгруэнции. Множество всех классов конгруэнции обозначают через. При этом для каждой-арной операции считают, а для-арной операции, где, –. Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции.