10 способов решения квадратных уравнений — страница 2

  • Просмотров 9188
  • Скачиваний 154
  • Размер файла 418
    Кб

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10 + х)(10 - х) = 96 или же: 100 - х2 = 96 х2 - 4 = 0 (1) Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так

как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения у(20 - у) = 96, у2 - 20у + 96 = 0. (2) Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1). 1.3 Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения

встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0. (1) В уравнении (1) коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были

распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам… Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая… Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3). Соответствующее задаче 13 уравнение: (x/8)2 + 12 = x Бхаскара пишет под видом: х2 - 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого

уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: х2 - 64х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32 = ± 16, х1 = 16, х2 = 48. 1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4)