Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

  • Просмотров 6214
  • Скачиваний 541
  • Размер файла 311
    Кб

Министерство общего и профессионального образования Р.Ф. Иркутский государственный технический университет. Кафедра высшей математики. Реферат. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии. Выполнила: студентка группы ТЭ-97-1 Мелкоступова С.С. Проверил преподаватель кафедры высшей математики Седых Е.И. Иркутск 1998. Содержание. 1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. 2. Вычисление двойных интегралов. a)

примеры. 3.Приложения двойных интегралов к задачам механики. а) масса плоской пластинки переменной плотности. б) статические моменты и центр тяжести пластинки. в) моменты инерции пластинки. 4.Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. а) Объём. б) Вычисление площади плоской области. 5.Вычисление площади поверхности. а) Примеры. 1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Цилиндрическим телом называется тело,

ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz. Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело,

ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой . Рис. 1 Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело. Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела: 1) если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей; 2) объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела,

ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела. Пусть , ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. чтовсюду в области D. Рис. 2 Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на неко­торое число n областей произвольной